Лицедей окончил Хабаровское театральное училище и в 1971 году стал артистом  Хабаровского ТЮЗа им. Ленинского комсомола. В 1973 году попал в Красноярский ТЮЗ, в 1980 году — попал в Вологодский театр драмы, в 1983 году — в Свердловский академический театр драмы. 

С 1987 года он состоит в труппе Краснодарского театра драмы, а в 1978 году получил звание «Заслуженный артист РСФСР». Играл в спектаклях «Ханума» Цагарели, «Поминальная молитва» Горина, «Ночной таксист» Куни, «На полпути к вершине» Устинова, «Евангелие от Воланда» Булгакова и других. 

— Коллеги и зрители отмечают невероятный профессионализм, ответственность, детальную проработку образов, глубокий психологизм и искренность его работ – как актёрских, так и режиссёрских. Александр Катков обладает редким на сегодняшний день даром – умением лаконично, точно и при этом максимально полно раскрывать суть конфликтов героев, наполнять и делать значимыми даже эпизодические роли, — прокомментировали в пресс-службе минкульта края.